Mathematica Tool 1

This notebook is designed to be used with Activity 1 in section 10.3.1

f[x_]:=(E^x)

Here are the first nine Taylor Polynomials for the expontential function at x=0.

(Subscript[P, 0])[x_]:=1
(Subscript[P, 1])[x_]:=(Subscript[P, 0])[x]+x
(Subscript[P, 2])[x_]:=(Subscript[P, 1])[x]+((x^2)/(2!))
(Subscript[P, 3])[x_]:=(Subscript[P, 2])[x]+((x^3)/(3!))
(Subscript[P, 4])[x_]:=(Subscript[P, 3])[x]+((x^4)/(4!))
(Subscript[P, 5])[x_]:=(Subscript[P, 4])[x]+((x^5)/(5!))
(Subscript[P, 6])[x_]:=(Subscript[P, 5])[x]+((x^6)/(6!))
(Subscript[P, 7])[x_]:=(Subscript[P, 6])[x]+((x^7)/(7!))
(Subscript[P, 8])[x_]:=(Subscript[P, 7])[x]+((x^8)/(8!))

Now we examine the convergence of the polynomial approximations at a particular point (Subscript[x, 0]). The following code will display a graph of the function f(x), graphs of the first nine Taylor polynomial approximations (Subscript[P, n])(x), and the first nine Taylor approximations at the particular point (Subscript[x, 0]).

Enter a value of (Subscript[x, 0])between -4 and 4

(Subscript[x, 0])= "???";

Below the plot we list the approximating values together with the value of f(x) and the error in the last approximation. The viewing window {{-a,a},{b,-b}} may be altered by varying the definitions of the constants  a  and b.

a=4;
b=60;
PlotA=Plot[f[x],{x,-a,a},PlotStyle->{Red,Thickness[0.015]},PlotRange->{{-a,a},{b,-b}}];
data={{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 0])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 1])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 2])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 3])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 4])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 5])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 6])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 7])[(Subscript[x, 0])]},{(Subscript[x, 0]),(Subscript[P, 8])[(Subscript[x, 0])]}};
PlotF=ListPlot[data,PlotStyle->{Blue,PointSize[0.015]}];
PlotG=Plot[{(Subscript[P, 0])[x],(Subscript[P, 1])[x],(Subscript[P, 2])[x],(Subscript[P, 3])[x],(Subscript[P, 4])[x],(Subscript[P, 5])[x],(Subscript[P, 6])[x],(Subscript[P, 7])[x],(Subscript[P, 8])[x]},{x,-a,a},PlotStyle->Green,PlotRange->{{-a,a},{b,-b}}];
Show[PlotA,PlotF,PlotG]
Print["Approximations"]
N[data[[All,2]]]
Print["Actual"]
N[f[(Subscript[x, 0])]]
Print["Actual - Last Approximation"]
N[f[(Subscript[x, 0])]-data[[9,2]]]