f[x_]:=x-Tan[x]

Plot[f[x],{x,1.5,5}]

Plot[f[x],{x,4.49,4.495}]

a=4.493;
b=4.494;
fa=f[a]
fb=f[b]
m=(fb-fa)/(b-a)
linearapprox[x_]:=m(x-a)+fa
p1=Plot[{f[x],linearapprox[x]},{x,4.49,4.495},PlotLabel->f[x]];
p2=ListPlot[{{a,fa},{b,fb}}];
Show[{p1,p2}]

root=a-fa/m
linearapprox[root] 
f[root] 
p3=ListPlot[{{root,f[root]}}];
Show[{p1,p2,p3}]

bestroot=FindRoot[f[x]==0,{x,4}]
bestroot=Replace[x,bestroot]